PHÒNG GD & ĐT VIỆT YÊN

KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN
NĂM HỌC 2012-2013
MÔN THI: TOÁN LỚP 8
Ngày thi: 3/4/2013

ĐỀ THI CHÍNH THỨC
Đề thi có 01 trang

Câu 1. (4,0 điểm)
1. Phân tích đa thức sau thành nhân tử:
2. Rút gọn biểu thức sau:
Câu 2. (4,0 điểm)
1. Giải phương trình sau:

2. Tìm các số nguyên
Câu 3. (4,0 điểm)
1. Tìm đa thức

thỏa mãn:

biết rằng:

dư 24,
chia cho
2. Chứng minh rằng:

chia cho
được thương là

dư

chia cho

và còn dư

Câu 4. (6,0 điểm)
Cho hình vuông
trên cạnh AB lấy điểm E và trên cạnh AD lấy điểm
F sao cho
. Vẽ AH vuông góc với BF (H thuộc BF), AH cắt DC và BC
lần lượt tại hai điểm M, N
1) Chứng minh rằng tứ giác
là hình chữ nhật
2) Biết diện tích tam giác
gấp bốn lần diện tích tam giác
Chứng
minh rằng
3) Chứng minh rằng :
Câu 5. (2,0 điểm)
Cho

là ba số dương thỏa mãn

Chứng minh rằng:

ĐÁP ÁN
Câu 1.
1.1 Ta có:

1.2
Điều kiện:
Ta có:

Vậy
Câu 2.

với

2.1 Đặt
Phương trình đã cho trở thành:
Khi đó ta có:

Vậy phương trình có nghiệm duy nhất
2.2 Ta có:

Từ

và

Thay

ta có:

mà

nguyên suy ra

vào phương trình ban đầu và giải phương trình tìm được

Vậy
Câu 3.
3.1 Giả sử

chia cho

được thương là

Khi đó :
Theo đề bài, ta có:

Do đó :
Vậy đa thức

cần tìm có dạng:

và còn dư

3.2
Ta có:

Đặt
Khi đó ta có:

=

Câu 4.

E

A

B

H
F
D

C

M

N
1) Ta có:

(cùng phụ với
(ABCD là hình vuông)
mà

Lại có:

nên
(vì

Suy ra tứ giác
Vậy tứ giác

là hình bình hành . Mặt khác
là hình chữ nhật

2) Ta có
hay
Lại có:

(cùng phụ với

mà
là trung điểm của AB, F là trung điểm của AD
Do đó:

hay

3) Do

Áp dụng hệ quả định lý Ta let ta có:

Lại có:

Áp dụng hệ quả định lý Ta let ta có:
hay

Câu 5.
Trước tiên ta chứng minh BĐT: Vơi mọi

Dấu

xảy ra

Thật vậy, với

và

ta có:

(luôn đúng)

và

ta có:

Dấu

xảy ra

Áp dụng bất đẳng thức

Dấu

ta có:

xảy ra

Ta có:
Áp dụng BĐT (*) ta có :

(Vì
Hay

Mà
Vậy

nên
(đpcm)