Giasutienbo.com - Trung tâm Gia sư Tiến Bộ - 0973361591

ĐỀ THI HSG TOÁN LỚP 8 CÓ ĐÁP ÁN
ĐỀ THI SỐ 1
Câu 1: (4,0 điểm)
Phân tích các đa thức sau thành nhân tử :
a) 3x2 – 7x + 2;

b) a(x2 + 1) – x(a2 + 1).

Câu 2: (5,0 điểm)
Cho biểu thức :

2+ x
4 x2
2− x
x 2 − 3x
A=(
− 2
−
):(
)
2− x
x −4 2+ x
2 x 2 − x3
a) Tìm ĐKXĐ rồi rút gọn biểu thức A ?
b) Tìm giá trị của x để A > 0?
c) Tính giá trị của A trong trường hợp : |x - 7| = 4.
Câu 3: (5,0 điểm)
a) Tìm x,y,z thỏa mãn phương trình sau :
9x2 + y2 + 2z2 – 18x + 4z - 6y + 20 = 0.
b)

Cho

x2 y 2 z 2
a b c
x y z
+ + = 1 và + + = 0 . Chứng minh rằng : 2 + 2 + 2 = 1 .
a
b
c
x y z
a b c

Câu 4: (6,0 điểm)
Cho hình bình hành ABCD có đường chéo AC lớn hơn đường chéo BD. Gọi E, F lần
lượt là hình chiếu của B và D xuống đường thẳng AC. Gọi H và K lần lượt là hình chiếu của
C xuống đường thẳng AB và AD.
a) Tứ giác BEDF là hình gì ? Hãy chứng minh điều đó ?
b) Chứng minh rằng : CH.CD = CB.CK
c) Chứng minh rằng : AB.AH + AD.AK = AC2.

HƯỚNG DẪN CHẤM THI
Nội dung đáp án
Bài 1
a

2,0
1,0
0,5
0,5

3x – 7x + 2 = 3x – 6x – x + 2 =
= 3x(x -2) – (x - 2)
= (x - 2)(3x - 1).
2

Điểm

2

1

Giasutienbo.com - Trung tâm Gia sư Tiến Bộ - 0973361591

b

2,0
1,0
0,5
0,5
5,0
3,0

a(x + 1) – x(a + 1) = ax + a – a x – x =
= ax(x - a) – (x - a) =
= (x - a)(ax - 1).
2

2

2

2

Bài 2:
a
ĐKXĐ :
2 − x  0
 2
x  0
x − 4  0


  x  2
2 + x  0
 x 2 − 3x  0

x  3

2 x 2 − x3  0
A=(

1,0

2 + x 4x2
2− x
x 2 − 3x
(2 + x) 2 + 4 x 2 − (2 − x) 2 x 2 (2 − x)
− 2
−
):( 2 3) =
.
=
2 − x x − 4 2 + x 2x − x
(2 − x)(2 + x)
x( x − 3)

=

1,0

4 x2 + 8x
x(2 − x)
.
=
(2 − x)(2 + x) x − 3

0,5

4 x( x + 2) x(2 − x)
4x2
=
(2 − x)(2 + x)( x − 3) x − 3

0,25

Vậy với x  0, x  2, x  3 thì A =

4x 2
.
x−3

0,25

b

1,0
Với x  0, x  3, x  2 : A  0 

2

4x
0
x −3

 x −3  0
 x  3(TMDKXD)

Vậy với x > 3 thì A > 0.
c
x − 7 = 4
x−7 = 4  
 x − 7 = −4
 x = 11(TMDKXD)

 x = 3( KTMDKXD )

Với x = 11 thì A =

121
2

0,25
0,25
0,25
0,25
1,0
0,5
0,25
0,25

Bài 3
a

5,0
2,5
9x2 + y2 + 2z2 – 18x + 4z - 6y + 20 = 0
 (9x2 – 18x + 9) + (y2 – 6y + 9) + 2(z2 + 2z + 1) = 0
 9(x - 1)2 + (y - 3)2 + 2 (z + 1)2 = 0 (*)
Do : ( x − 1)2  0;( y − 3)2  0;( z + 1)2  0
Nên : (*)  x = 1; y = 3; z = -1
Vậy (x,y,z) = (1,3,-1).
2

1,0
0,5
0,5
0,25
0,25

Giasutienbo.com - Trung tâm Gia sư Tiến Bộ - 0973361591

b

2,5
Từ :

Ta có :

a b c
ayz+bxz+cxy
+ + =0
=0
x y z
xyz

0,5

 ayz + bxz + cxy = 0
x y z
x y z
+ + = 1  ( + + )2 = 1
a b c
a b c
2
2
2
x
y
z
xy xz yz
 2 + 2 + 2 + 2( + + ) = 1
a
b
c
ab ac bc
2
2
2
x
y
z
cxy + bxz + ayz
 2 + 2 + 2 +2
=1
a
b
c
abc
x2 y 2 z 2
 2 + 2 + 2 = 1(dfcm)
a
b
c

0,25
0,5
0,5
0,5
0,25

Bài 4

6,0
H

C

B

0,25

F
O
E
A
D

a
Ta có : BE ⊥ AC (gt); DF ⊥ AC (gt) => BE // DF
Chứng minh : BEO = DFO( g − c − g )
=> BE = DF
Suy ra : Tứ giác : BEDF là hình bình hành.
b
Ta có: ABC = ADC  HBC = KDC
Chứng minh : CBH CDK ( g − g )


CH CK
=
 CH .CD = CK .CB
CB CD

b,

K

2,0
0,5
0,5
0,25
0,25
2,0
0,5
1,0
0,5
1,75
0,25

Chứng minh : AFD AKC( g − g )
AF AK
=
 AD. AK = AF . AC
AD AC
Chứng minh : CFD AHC( g − g)
CF AH

=
CD AC


0,25
0,25
0,25
3

Giasutienbo.com - Trung tâm Gia sư Tiến Bộ - 0973361591

Mà : CD = AB 

CF AH
=
 AB. AH = CF . AC
AB AC

0,5

Suy ra : AB.AH + AB.AH = CF.AC + AF.AC = (CF + AF)AC = AC2
(đfcm).

0,25

ĐỀ SỐ 2
Câu1.
a. Phân tích các đa thức sau ra thừa số:

x4 + 4
( x + 2)( x + 3)( x + 4)( x + 5) − 24
b. Giải phương trình: x − 30x
4

2

+ 31x − 30 = 0

a
b
c
a2
b2
c2
+
+
= 1 . Chứng minh rằng:
c. Cho
+
+
=0
b+c c+a a+b
b+c c+a a+b

Cho biểu thức:

Câu2.

2
1  
10 − x 2 
 x
A= 2
+
+
:x − 2 + x + 2 
x −4 2−x x+2 


a. Rút gọn biểu thức A.
b. Tính giá trị của A , Biết x =

1
.
2

c. Tìm giá trị của x để A < 0.
d. Tìm các giá trị nguyên của x để A có giá trị nguyên.
Câu 3. Cho hình vuông ABCD, M là một điểm tuỳ ý trên đường chéo BD. Kẻ ME ⊥ AB, MF ⊥ AD.
a. Chứng minh: DE = CF
b. Chứng minh ba đường thẳng: DE, BF, CM đồng quy.
c. Xác định vị trí của điểm M để diện tích tứ giác AEMF lớn nhất.
Câu 4.
a. Cho 3 số dương a, b, c có tổng bằng 1. Chứng minh rằng:

1 1 1
+ + 9
a b c

b. Cho a, b d-¬ng vµ a2000 + b2000 = a2001 + b2001 = a2002 + b2002
Tinh: a2011 + b2011
HƯỚNG DẪN CHẤM THI HỌC SINH GIỎI LỚP 8

Câu

Câu 1
(6 điểm)

Đáp án
a. x4 + 4 = x4 + 4x2 + 4 - 4x2
= (x4 + 4x2 + 4) - (2x)2
= (x2 + 2 + 2x)(x2 + 2 - 2x)
( x + 2)( x + 3)( x + 4)( x + 5) - 24
= (x2 + 7x + 11 - 1)( x2 + 7x + 11 + 1) - 24
= [(x2 + 7x + 11)2 - 1] - 24
= (x2 + 7x + 11)2 - 52
= (x2 + 7x + 6)( x2 + 7x + 16)
= (x + 1)(x + 6) )( x2 + 7x + 16)

4

Điểm

(2 điểm)

Giasutienbo.com - Trung tâm Gia sư Tiến Bộ - 0973361591

b. x − 30x

+ 31x − 30 = 0 <=>
( x − x + 1) ( x − 5)( x + 6 ) = 0 (*)
4

2

2

Vì x2 - x + 1 = (x -

1 2 3
) +
>0
2
4

x

 (*) <=> (x - 5)(x + 6) = 0

x − 5 = 0

x
+
6
=
0


x = 5
x = − 6

a
b
c
+
+
=1
c. Nhân cả 2 vế của:
b+c c+a a+b
với a + b + c; rút gọn  đpcm
2
1  
10 − x 2 
 x
+
+
:
x
−
2
+
Biểu thức: A =  2

 
x+2 
x −4 2−x x+2 
−1
a. Rút gọn được kq: A =
x−2
−1
1
1
 x = hoặc x =
b. x =
2
2
2
 

Câu 2
(6 điểm)

4
4
hoặc A =
5
3
c. A  0  x  2
−1
 Z ...  x 1;3
d. A  Z 
x−2

A=

HV + GT + KL

(2 điểm)

(1.5 điểm)

(1.5 điểm)
(1.5 điểm)
(1.5 điểm)
E

A

(2 điểm)

B

(1 điểm)
F

M

D

Câu 3
(6 điểm)

C

AE = FM = DF
 AED = DFC  đpcm
b. DE, BF, CM là ba đường cao của EFC  đpcm

(2 điểm)
(2 điểm)

c. Có Chu vi hình chữ nhật AEMF = 2a không đổi
 ME + MF = a không đổi
 S AEMF = ME.MF lớn nhất  ME = MF (AEMF là hình
vuông)
 M là trung điểm của BD.

(1 điểm)

a. Chứng minh:

5

Giasutienbo.com - Trung tâm Gia sư Tiến Bộ - 0973361591

b c
1
 a = 1+ a + a

a c
1
a. Từ: a + b + c = 1   = 1 + +
b b
b
a b
1
=
1
+
+
c
c c

Câu 4:
(2 điểm)

(1 điểm)

1 1 1
a b a c b c
+ + = 3 + +  +  +  +  + 
a b c
b a c a c b
3+2+2+2=9
1
Dấu bằng xảy ra  a = b = c =
3


b. (a2001 + b2001).(a+ b) - (a2000 + b2000).ab = a2002 + b2002
 (a+ b) – ab = 1
 (a – 1).(b – 1) = 0
 a = 1 hoÆc b = 1
Víi a = 1 => b2000 = b2001 => b = 1 hoÆc b = 0 (lo¹i)
Víi b = 1 => a2000 = a2001 => a = 1 hoÆc a = 0 (lo¹i)
VËy a = 1; b = 1 => a2011 + b2011 = 2

(1 điểm)

§Ò thi SỐ 3
C©u 1 : (2 ®iÓm)

a 3 − 4a 2 − a + 4
P= 3
a − 7a 2 + 14 a − 8

Cho

a) Rót gän P
b) T×m gi¸ trÞ nguyªn cña a ®Ó P nhËn gi¸ trÞ nguyªn
C©u 2 : (2 ®iÓm)
a) Chøng minh r»ng nÕu tæng cña hai sè nguyªn chia hÕt cho 3 th× tæng c¸c lËp ph-¬ng cña chóng
chia hÕt cho 3.
b) T×m c¸c gi¸ trÞ cña x ®Ó biÓu thøc :
P=(x-1)(x+2)(x+3)(x+6) cã gi¸ trÞ nhá nhÊt . T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt ®ã .
C©u 3 : (2 ®iÓm)
a) Gi¶i ph-¬ng tr×nh :

1
1
1
1
+ 2
+ 2
=
x + 9 x + 20 x + 11x + 30 x + 13 x + 42 18
2

b) Cho a , b , c lµ 3 c¹nh cña mét tam gi¸c . Chøng minh r»ng :
A=

a
b
c
+
+
3
b+c−a a +c−b a +b−c

C©u 4 : (3 ®iÓm)
Cho tam gi¸c ®Òu ABC , gäi M lµ trung ®iÓm cña BC . Mét gãc xMy b»ng 600 quay quanh ®iÓm M
sao cho 2 c¹nh Mx , My lu«n c¾t c¹nh AB vµ AC lÇn l-ît t¹i D vµ E . Chøng minh :
6

Giasutienbo.com - Trung tâm Gia sư Tiến Bộ - 0973361591

a) BD.CE=

BC 2
4

b) DM,EM lÇn l-ît lµ tia ph©n gi¸c cña c¸c gãc BDE vµ CED.
c) Chu vi tam gi¸c ADE kh«ng ®æi.
C©u 5 : (1 ®iÓm)
T×m tÊt c¶ c¸c tam gi¸c vu«ng cã sè ®o c¸c c¹nh lµ c¸c sè nguyªn d-¬ng vµ sè ®o diÖn tÝch b»ng sè
®o chu vi .
®¸p ¸n ®Ò thi häc sinh giái
C©u 1 : (2 ®)
a) (1,5) a3 - 4a2 - a + 4 = a( a2 - 1 ) - 4(a2 - 1 ) =( a2 - 1)(a-4)
=(a-1)(a+1)(a-4)

0,5

a3 -7a2 + 14a - 8 =( a3 -8 ) - 7a( a-2 ) =( a -2 )(a2 + 2a + 4) - 7a( a-2 )
=( a -2 )(a2 - 5a + 4) = (a-2)(a-1)(a-4)

0,5

Nªu §KX§ : a  1; a  2; a  4
Rót gän P=
b) (0,5®) P=

0,25

a +1
a−2

0,25

a−2+3
3
; ta thÊy P nguyªn khi a-2 lµ -íc cña 3,
= 1+
a−2
a−2

mµ ¦(3)= − 1;1;−3;3

0,25

Tõ ®ã t×m ®-îc a  − 1;3;5

0,25

C©u 2 : (2®)
a)(1®) Gäi 2 sè ph¶i t×m lµ a vµ b , ta cã a+b chia hÕt cho 3 .





0,25

Ta cã a3+b3=(a+b)(a2-ab+b2)=(a+b) (a 2 + 2ab + b 2 ) − 3ab =



=(a+b) (a + b) 2 − 3ab



0,5

V× a+b chia hÕt cho 3 nªn (a+b)2-3ab chia hÕt cho 3 ;





Do vËy (a+b) (a + b) 2 − 3ab chia hÕt cho 9

0,25

b) (1®) P=(x-1)(x+6)(x+2)(x+3)=(x2+5x-6)(x2+5x+6)=(x2+5x)2-36
Ta thÊy (x2+5x)2  0 nªn P=(x2+5x)2-36  -36

0,5
0,25

Do ®ã Min P=-36 khi (x2+5x)2=0
Tõ ®ã ta t×m ®-îc x=0 hoÆc x=-5 th× Min P=-36

0,25

C©u 3 : (2®)
a) (1®) x2+9x+20 =(x+4)(x+5) ;
x2+11x+30 =(x+6)(x+5) ;
x2+13x+42 =(x+6)(x+7) ;

0,25

§KX§ : x  −4; x  −5; x  −6; x  −7

0,25
7

Giasutienbo.com - Trung tâm Gia sư Tiến Bộ - 0973361591

Ph-¬ng tr×nh trë thµnh :
1
1
1
1
+
+
=
( x + 4)( x + 5) ( x + 5)( x + 6) ( x + 6)( x + 7) 18

1
1
1
1
1
1
1
−
+
−
+
−
=
x + 4 x + 5 x + 5 x + 6 x + 6 x + 7 18

1
1
1
−
=
x + 4 x + 7 18

0,25

18(x+7)-18(x+4)=(x+7)(x+4)
(x+13)(x-2)=0
Tõ ®ã t×m ®-îc x=-13; x=2;

0,25

b) (1®) §Æt b+c-a=x >0; c+a-b=y >0; a+b-c=z >0
y+z
x+z
x+ y
;
0,5
;b =
;c =
2
2
2
y+z x+z x+ y 1 y x
x z
y z 
+
+
= ( + ) + ( + ) + ( + ) 0,25
Thay vµo ta ®-îc A=
2x
2y
2z
2 x y
z x
z y 
1
Tõ ®ã suy ra A  (2 + 2 + 2) hay A  3
0,25
2
C©u 4 : (3 ®)

Tõ ®ã suy ra a=

a) (1®)
Trong tam gi¸c BDM ta cã : Dˆ 1 = 120 0 − Mˆ 1
V× Mˆ 2 =600 nªn ta cã

: Mˆ 3 = 1200 − Mˆ 1

Suy ra Dˆ 1 = Mˆ 3

x

Chøng minh BMD ∾ CEM (1)
Suy ra

E
D

BD CM
, tõ ®ã BD.CE=BM.CM
=
BM
CE

V× BM=CM=

BC
, nªn ta cã
2

b) (1®) Tõ (1) suy ra

y

A

BD.CE=

BC
4

1

0,5

2

B

1

2 3

M

2

C

0,5

BD MD
mµ BM=CM nªn ta cã
=
CM EM

BD MD
=
BM EM

Chøng minh BMD ∾ MED

0,5

Tõ ®ã suy ra Dˆ 1 = Dˆ 2 , do ®ã DM lµ tia ph©n gi¸c cña gãc BDE
Chøng minh t-¬ng tù ta cã EM lµ tia ph©n gi¸c cña gãc CED

0,5

c) (1®) Gäi H, I, K lµ h×nh chiÕu cña M trªn AB, DE, AC
Chøng minh DH = DI, EI = EK

0,5
8

Giasutienbo.com - Trung tâm Gia sư Tiến Bộ - 0973361591

TÝnh chu vi tam gi¸c b»ng 2AH; KÕt luËn.

0,5

C©u 5 : (1®)
Gäi c¸c c¹nh cña tam gi¸c vu«ng lµ x , y , z ; trong ®ã c¹nh huyÒn lµ z
(x, y, z lµ c¸c sè nguyªn d-¬ng )
Ta cã xy = 2(x+y+z) (1) vµ x2 + y2 = z2 (2)
2

0,25

2

Tõ (2) suy ra z = (x+y) -2xy , thay (1) vµo ta cã :
z2 = (x+y)2 - 4(x+y+z)
z2 +4z =(x+y)2 - 4(x+y)
z2 +4z +4=(x+y)2 - 4(x+y)+4
(z+2)2=(x+y-2)2 , suy ra z+2 = x+y-2

0,25

z=x+y-4 ; thay vµo (1) ta ®-îc :
xy=2(x+y+x+y-4)
xy-4x-4y=-8
(x-4)(y-4)=8=1.8=2.4

0,25

Tõ ®ã ta t×m ®-îc c¸c gi¸ trÞ cña x , y , z lµ :
(x=5,y=12,z=13) ; (x=12,y=5,z=13) ;
(x=6,y=8,z=10) ; (x=8,y=6,z=10)

0,25

ÑEÀ THI SOÁ 4
Caâu1( 2 ñ): Phaân tích ña thöùc sau thaønh nhaân töû

A = ( a + 1)( a + 3)( a + 5)( a + 7 ) + 15
Caâu 2( 2 ñ): Vôùi giaù trò naøo cuûa a vaø b thì ña thöùc:

( x − a )( x −10) + 1
phaân tích thaønh tích cuûa moät ña thöùc baäc nhaát coù caùc heä soá nguyeân
Caâu 3( 1 ñ): tìm caùc soá nguyeân a vaø b ñeå ña thöùc A(x) = x4 − 3x3 + ax + b chia heát cho ña
thöùc B( x) = x 2 − 3x + 4
Caâu 4( 3 ñ): Cho tam giaùc ABC, ñöôøng cao AH,veõ phaân giaùc Hx cuûa goùc AHB vaø phaân giaùc Hy cuûa goùc
AHC. Keû AD vuoâng goùc vôùi Hx, AE vuoâng goùc Hy.
Chöùng minh raèngtöù giaùc ADHE laø hình vuoâng
Caâu 5( 2 ñ): Chöùng minh raèng
P=

Caâu

1 1 1
1
+ 2 + 4 + ... +
1
2
2 3 4
1002

Ñaùp aùn vaø bieåu ñieåm
Ñaùp aùn
9

Bieåu ñieåm

Giasutienbo.com - Trung tâm Gia sư Tiến Bộ - 0973361591

1
2ñ

A = ( a + 1)( a + 3)( a + 5 )( a + 7 ) + 15

(
= (a
= (a
= (a

)(

2

)

(

2

)

+ 8a + 22 a 2 + 8a + 120

)
+ 8a + 12 )( a
= ( a + 2 )( a + 6 ) ( a

2
2ñ

0,5 ñ
0,5 ñ
0,5 ñ
0,5 ñ

)

= a 2 + 8a + 7 a 2 + 8a + 15 + 15

2

2

+ 8a + 11 − 1

2

)
+ 8a + 10 )

+ 8a + 10

2
2

Giaû söû: ( x − a )( x −10) + 1 = ( x − m)( x − n ) ;(m, n  Z )

 x 2 − ( a + 10 ) x + 10a + 1 = x 2 − ( m + n ) x + mn
  mm.+nn==10a a+10
+1
Khöû a ta coù :
mn = 10( m + n – 10) + 1
 mn − 10m − 10n + 100 = 1
 m(n − 10) − 10n + 10) = 1
vì m,n nguyeân ta coù:

3
1ñ



m−10=1
n −10=1

v



0,25 ñ
0,25 ñ
0,25 ñ
0,25 ñ
0,25 ñ

m−10=−1
n −10=−1

suy ra a = 12 hoaëc a =8
Ta coù:
A(x) =B(x).(x2-1) + ( a – 3)x + b + 4
=3
Ñeå A( x) B( x) thì ba+−34==00  ba=−
4



0,25 ñ
0,25 ñ
0,25 ñ

0,5 ñ
0,5 ñ



4
3ñ
0,25 ñ

Töù giaùc ADHE laø hình vuoâng
Hx laø phaân giaùc cuûa goùc AHB ; Hy phaân giaùc cuûa goùc AHC maø AHB
vaø AHC laø hai goùc keà buø neân Hx vaø Hy vuoâng goùc
Hay DHE = 900 maët khaùc ADH = AEH = 900
Neân töù giaùc ADHE laø hình chöõ nhaät ( 1)
AHB 900
AHD =
=
= 450
2
2
Do AHE =

AHC 900
=
= 450
2
2

 AHD = AHE

10

0,25 ñ
0,25 ñ
0,25 ñ
0,25 ñ
0,5 ñ
0,5 ñ
0,25 ñ
0,25 ñ
0,25 ñ

Giasutienbo.com - Trung tâm Gia sư Tiến Bộ - 0973361591

5
2ñ

Hay HA laø phaân giaùc DHE (2)
Töø (1) vaø (2) ta coù töù giaùc ADHE laø hình vuoâng
1 1 1
1
P = 2 + 2 + 4 + ... +
2 3 4
100 2
1
1
1
1
=
+
+
+ ... +
2.2 3.3 4.4
100.100
1
1
1
1

+
+
+ ... +
1.2 2.3 3.4
99.100
1 1 1
1
1
= 1 − + − + ... + −
2 2 3
99 100
1
99
= 1−
=
1
100 100

0,5 ñ
0,5 ñ
0,5 ñ
0,5 ñ

ĐỀ THI SỐ 5

Bài 1: (4 điểm)
Phân tích các đa thức sau thành nhân tử:
a) (x + y + z) 3 – x3 – y3 – z3.
b) x4 + 2010x2 + 2009x + 2010.
Bài 2: (2 điểm)
Giải phương trình:
x − 241 x − 220 x − 195 x − 166
+
+
+
= 10 .
17
19
21
23
Bài 3: (3 điểm)
Tìm x biết:
2
2
( 2009 − x ) + ( 2009 − x )( x − 2010 ) + ( x − 2010 )

( 2009 − x )

2

− ( 2009 − x )( x − 2010 ) + ( x − 2010 )

Bài 4: (3 điểm)
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức A =

2

=

19
.
49

2010x + 2680
.
x2 + 1

Bài 5: (4 điểm)
Cho tam giác ABC vuông tại A, D là điểm di động trên cạnh BC. Gọi E, F lần lượt là
hình chiếu vuông góc của điểm D lên AB, AC.
a) Xác định vị trí của điểm D để tứ giác AEDF là hình vuông.
b) Xác định vị trí của điểm D sao cho 3AD + 4EF đạt giá trị nhỏ nhất.
11

Giasutienbo.com - Trung tâm Gia sư Tiến Bộ - 0973361591

Bài 6: (4 điểm)
Trong tam giác ABC, các điểm A, E, F tương ứng nằm trên các cạnh BC, CA, AB sao
cho: AFE = BFD, BDF = CDE, CED = AEF .
a) Chứng minh rằng: BDF = BAC .
b) Cho AB = 5, BC = 8, CA = 7. Tính độ dài đoạn BD.
Một lời giải:
Bài 1:
a)

3
(x + y + z) 3 – x3 – y3 – z3 = ( x + y + z ) − x 3  −  y3 + z3 



= ( y + z ) ( x + y + z ) + ( x + y + z ) x + x 2  − ( y + z ) ( y 2 − yz + z 2 )


2

= ( y + z ) ( 3x 2 + 3xy + 3yz + 3zx ) = 3 ( y + z )  x ( x + y ) + z ( x + y )
= 3 ( x + y )( y + z )( z + x ) .
b)

x4 + 2010x2 + 2009x + 2010 = ( x 4 − x ) + ( 2010x 2 + 2010x + 2010 )
= x ( x − 1) ( x 2 + x + 1) + 2010 ( x 2 + x + 1) = ( x 2 + x + 1)( x 2 − x + 2010 ) .

Bài 2:
x − 241 x − 220 x − 195 x − 166
+
+
+
= 10
17
19
21
23


x − 241
x − 220
x − 195
x − 166
−1+
−2+
−3+
−4=0
17
19
21
23

x − 258 x − 258 x − 258 x − 258
+
+
+
=0
17
19
21
23
1 
1 1 1
 ( x − 258 )  + + +  = 0
 17 19 21 23 
 x = 258
Bài 3:
2
2
( 2009 − x ) + ( 2009 − x )( x − 2010 ) + ( x − 2010 )


( 2009 − x )

2

− ( 2009 − x )( x − 2010 ) + ( x − 2010 )

2

=

19
.
49

ĐKXĐ: x  2009; x  2010 .
Đặt a = x – 2010
(a  0), ta có hệ thức:
2
( a + 1) − ( a + 1) a + a 2 = 19  a 2 + a + 1 = 19
2
( a + 1) + ( a + 1) a + a 2 49 3a 2 + 3a + 1 49
 49a 2 + 49a + 49 = 57a 2 + 57a + 19  8a 2 + 8a − 30 = 0
12

Giasutienbo.com - Trung tâm Gia sư Tiến Bộ - 0973361591

3

a
=

2
2
(thoả ĐK)
 ( 2a + 1) − 42 = 0  ( 2a − 3)( 2a + 5) = 0  
5
a = −

2
4023
4015
Suy ra x =
hoặc x =
(thoả ĐK)
2
2
4023
4015
Vậy x =
và x =
là giá trị cần tìm.
2
2
Bài 4:
2010x + 2680
A=
x2 + 1
−335x 2 − 335 + 335x 2 + 2010x + 3015
335(x + 3)2
=
= −335 +
 −335
x2 + 1
x2 + 1
Vậy giá trị nhỏ nhất của A là – 335 khi x = – 3.

Bài 5:
a) Tứ giác AEDF là hình chữ nhật (vì E = A = F = 90o )
C
Để tứ giác AEDF là hình vuông thì AD là tia phân
giác của BAC .
b) Do tứ giác AEDF là hình chữ nhật nên AD = EF
Suy ra 3AD + 4EF = 7AD
3AD + 4EF nhỏ nhất  AD nhỏ nhất
F
 D là hình chiếu vuông góc của A lên BC.
Bài 6:
a) Đặt AFE = BFD = , BDF = CDE = , CED = AEF =  .

D

A
E
B
Ta có BAC +  +  = 1800 (*)
Qua D, E, F lần lượt kẻ các đường thẳng vuông góc với BC, AC, AB cắt nhau tại O. Suy
ra O là giao điểm ba đường phân giác của tam giác DEF.
 OFD + OED + ODF = 90o (1)
Ta có OFD +  + OED +  + ODF +  = 270o (2)
(1) & (2)   +  +  = 180o (**)

s

s

s

(*) & (**)  BAC =  = BDF .
b) Chứng minh tương tự câu a) ta có:
B = , C = 
 AEF DBF DEC ABC

13

Giasutienbo.com - Trung tâm Gia sư Tiến Bộ - 0973361591

5BF
5BF
5BF
 BD BA 5 


 BF = BC = 8 BD = 8
BD = 8
BD = 8




7CE
7CE
7CE
 CD CA 7 


=
=  CD =
 CD =
 CD =

8
8
8
 CE CB 8 


 AE AB 5
7AE = 5AF 7(7 − CE) = 5(5 − BF) 7CE − 5BF = 24
=
=
 AF AC 7







 CD − BD = 3 (3)
Ta lại có CD + BD = 8 (4)
(3) & (4)  BD = 2,5

ĐỀ SỐ 6
Bài 1(3 điểm): Tìm x biết:
a) x2 – 4x + 4 = 25
x − 17 x − 21 x + 1
+
+
=4
b)
1990
1986 1004
c) 4x – 12.2x + 32 = 0
1 1 1
+ + = 0.
x y z
yz
xz
xy
+ 2
+ 2
Tính giá trị của biểu thức: A = 2
x + 2 yz y + 2xz z + 2xy

Bài 2 (1,5 điểm): Cho x, y, z đôi một khác nhau và

Bài 3 (1,5 điểm): Tìm tất cả các số chính phương gồm 4 chữ số biết rằng khi ta thêm 1 đơn vị
vào chữ số hàng nghìn , thêm 3 đơn vị vào chữ số hàng trăm, thêm 5 đơn vị vào chữ số hàng
chục, thêm 3 đơn vị vào chữ số hàng đơn vị , ta vẫn được một số chính phương.
Bài 4 (4 điểm): Cho tam giác ABC nhọn, các đường cao AA', BB', CC', H là trực tâm.
HA' HB' HC'
+
+
a) Tính tổng
AA' BB' CC'
b) Gọi AI là phân giác của tam giác ABC; IM, IN thứ tự là phân giác của góc AIC và góc AIB.
Chứng minh rằng: AN.BI.CM = BN. IC.AM.
(AB + BC + CA ) 2
c) Tam giác ABC như thế nào thì biểu thức
đạt giá trị nhỏ nhất?
AA' 2 + BB' 2 + CC ' 2
ĐÁP ÁN
• Bài 1(3 điểm):
a) Tính đúng x = 7; x = -3
b) Tính đúng x = 2007
c) 4x – 12.2x +32 = 0  2x.2x – 4.2x – 8.2x + 4.8 = 0
 2x(2x – 4) – 8(2x – 4) = 0  (2x – 8)(2x – 4) = 0
 (2x – 23)(2x –22) = 0  2x –23 = 0 hoặc 2x –22 = 0
 2x = 23 hoặc 2x = 22  x = 3; x = 2
14

( 1 điểm )
( 1 điểm )
( 0,25điểm )
( 0,25điểm )
( 0,25điểm )
( 0,25điểm )

Giasutienbo.com - Trung tâm Gia sư Tiến Bộ - 0973361591

• Bài 2(1,5 điểm):
xy + yz + xz
1 1 1
= 0  xy + yz + xz = 0  yz = –xy–xz ( 0,25điểm )
+ + =0
xyz
x y z
x2+2yz = x2+yz–xy–xz = x(x–y)–z(x–y) = (x–y)(x–z)
( 0,25điểm )
Tương tự: y2+2xz = (y–x)(y–z) ; z2+2xy = (z–x)(z–y)
Do đó: A =

( 0,25điểm )

yz
xz
xy
+
+
( x − y)( x − z) ( y − x )( y − z) (z − x )(z − y)

( 0,25điểm )

Tính đúng A = 1
• Bài 3(1,5 điểm):
Gọi abcd là số phải tìm a, b, c, d

( 0,5 điểm )

 N, 0  a, b, c, d  9, a  0

(0,25điểm)

2
Ta có: abcd = k
với k, m  N, 31  k  m  100
(a + 1)(b + 3)(c + 5)(d + 3) = m 2
(0,25điểm)




abcd = k 2
abcd + 1353 = m 2

(0,25điểm)

Do đó: m –k = 1353
 (m+k)(m–k) = 123.11= 41. 33 ( k+m < 200 )
m+k = 123
m+k = 41

hoặc
m–k = 11
m–k = 33
m = 67
m = 37
hoặc
 k = 56
k= 4
Kết luận đúng abcd = 3136
Bài 4 (4 điểm):
Vẽ hình đúng
(0,25điểm)
1
.HA'.BC
S HBC 2
HA'
C'
=
=
a) S
;
1
AA'
N
ABC
.AA'.BC
2
I
(0,25điểm)
B
Tương tự:

2

2

SHAB HC' SHAC HB'
=
=
;
SABC CC' SABC BB'

(0,25điểm)

(0,25điểm)
(0,25điểm)

A

H

x

B'
M

A'

C
D

(0,25điểm)
HA' HB' HC' SHBC SHAB SHAC
+
+
=
+
+
=1
AA' BB' CC' SABC SABC SABC
15

(0,25điểm)

Giasutienbo.com - Trung tâm Gia sư Tiến Bộ - 0973361591

b) Áp dụng tính chất phân giác vào các tam giác ABC, ABI, AIC:
BI AB AN AI CM IC
=
;
=
;
=
(0,5điểm )
IC AC NB BI MA AI
BI AN CM AB AI IC AB IC
.
.
=
. . =
. =1
(0,5điểm )
IC NB MA AC BI AI AC BI
(0,5điểm )
 BI .AN.CM = BN.IC.AM
c)Vẽ Cx ⊥ CC'. Gọi D là điểm đối xứng của A qua Cx
(0,25điểm)
-Chứng minh được góc BAD vuông, CD = AC, AD = 2CC'
(0,25điểm)
- Xét 3 điểm B, C, D ta có: BD  BC + CD
(0,25điểm)
2
2
2
-  BAD vuông tại A nên: AB +AD = BD
 AB2 + AD2  (BC+CD)2
AB2 + 4CC'2  (BC+AC)2
4CC'2  (BC+AC)2 – AB2 (0,25điểm)
Tương tự: 4AA'2  (AB+AC)2 – BC2
4BB'2  (AB+BC)2 – AC2
-Chứng minh được : 4(AA'2 + BB'2 + CC'2)  (AB+BC+AC)2
(AB + BC + CA ) 2
 4 (0,25điểm)

AA'2 + BB'2 + CC'2
Đẳng thức xảy ra  BC = AC, AC = AB, AB = BC
 AB = AC =BC   ABC đều
Kết luận đúng
(0,25điểm)
*Chú ý :Học sinh có thể giải cách khác, nếu chính xác thì hưởng trọn số điểm câu đó
ĐỀ SỐ 7
Bài 1 (4 điểm)
 1 − x3

1 − x2


−
x
:
Cho biểu thức A = 
 1 − x − x 2 + x3 với x khác -1 và 1.
 1− x

a, Rút gọn biểu thức A.
2
3

b, Tính giá trị của biểu thức A tại x = −1 .
c, Tìm giá trị của x để A < 0.
Bài 2 (3 điểm)

2
2
2
Cho ( a − b ) + ( b − c ) + ( c − a ) = 4.( a + b + c − ab − ac − bc ) .
2

2

2

Chứng minh rằng a = b = c .
Bài 3 (3 điểm)
Giải bài toán bằng cách lập phương trình.
Một phân số có tử số bé hơn mẫu số là 11. Nếu bớt tử số đi 7 đơn vị và tăng mẫu lên 4
đơn vị thì sẽ được phân số nghịch đảo của phân số đã cho. Tìm phân số đó.
Bài 4 (2 điểm)
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức A = a4 − 2a3 + 3a2 − 4a + 5 .
16

Giasutienbo.com - Trung tâm Gia sư Tiến Bộ - 0973361591

Bài 5 (3 điểm)
Cho tam giác ABC vuông tại A có góc ABC bằng 600, phân giác BD. Gọi M,N,I theo
thứ tự là trung điểm của BD, BC, CD.
a, Tứ giác AMNI là hình gì? Chứng minh.
b, Cho AB = 4cm. Tính các cạnh của tứ giác AMNI.
Bài 6 (5 điểm)
Hình thang ABCD (AB // CD) có hai đường chéo cắt nhau tại O. Đường thẳng qua O
và song song với đáy AB cắt các cạnh bên AD, BC theo thứ tự ở M và N.
a, Chứng minh rằng OM = ON.
1
1
2
.
+
=
AB CD MN

b, Chứng minh rằng

c, Biết SAOB= 20082 (đơn vị diện tích); SCOD= 20092 (đơn vị diện tích). Tính SABCD.
Đáp án
Bài 1( 4 điểm )
a, ( 2 điểm )
Với x khác -1 và 1 thì :
A=

0,5đ

1− x − x + x
(1 − x)(1 + x)
:
1− x
(1 + x)(1 − x + x 2 ) − x(1 + x)
3

2

0,5đ

(1 − x)(1 + x + x 2 − x)
(1 − x)(1 + x)
:
1− x
(1 + x)(1 − 2 x + x 2 )
1
= (1 + x 2 ) :
(1 − x)
2
= (1 + x )(1 − x)

=

0,5đ
0,5đ

b, (1 điểm)
2
5
= − thì A =
3
3
25
5
= (1 + )(1 + )
9
3
34 8 272
2
= . =
= 10
9 3 27
27

Tại x = − 1

0,25đ

5 2 
5 

1 + (− 3 )  − 1 − (− 3 )

 


0,25đ
0,5đ

c, (1điểm)
Với x khác -1 và 1 thì A<0 khi và chỉ khi (1 + x 2 )(1 − x)  0 (1)
Vì 1 + x 2  0 với mọi x nên (1) xảy ra khi và chỉ khi 1 − x  0  x  1
KL

0,25đ
0,5đ
0,25đ

Bài 2 (3 điểm)
Biến đổi đẳng thức để được

0,5đ

a + b − 2ab + b + c − 2bc + c + a + 2ac = 4a + 4b + 4c − 4ab − 4ac − 4bc
Biến đổi để có (a 2 + b 2 − 2ac) + (b 2 + c 2 − 2bc) + (a 2 + c 2 − 2ac) = 0
Biến đổi để có (a − b) 2 + (b − c) 2 + (a − c) 2 = 0 (*)
2

2

2

2

2

2

2

2

2

Vì (a − b) 2  0 ; (b − c) 2  0 ; (a − c) 2  0 ; với mọi a, b, c
nên (*) xảy ra khi và chỉ khi (a − b) 2 = 0 ; (b − c) 2 = 0 và (a − c) 2 = 0 ;
17

0,5đ
0,5đ
0,5đ
0,5đ

Giasutienbo.com - Trung tâm Gia sư Tiến Bộ - 0973361591

Từ đó suy ra a = b = c

0,5đ

Bài 3 (3 điểm)
Gọi tử số của phân số cần tìm là x thì mẫu số của phân số cần tìm là x+11. Phân số
cần tìm là

x
(x là số nguyên khác -11)
x + 11

Khi bớt tử số đi 7 đơn vị và tăng mẫu số 4 đơn vị ta được phân số
(x khác -15)
Theo bài ra ta có phương trình

x−7
x + 15

0,5đ

x + 15
x
=
x + 11 x − 7

0,5đ

Giải phương trình và tìm được x= -5 (thoả mãn)
Từ đó tìm được phân số −

0,5đ

1đ
0,5đ

5
6

Bài 4 (2 điểm)
0,5đ

Biến đổi để có A= a 2 (a 2 + 2) − 2a(a 2 + 2) + (a 2 + 2) + 3
= (a 2 + 2)(a 2 − 2a + 1) + 3 = (a 2 + 2)(a − 1) 2 + 3
Vì a 2 + 2  0 a và (a − 1) 2  0a nên (a 2 + 2)(a − 1) 2  0a do đó

0,5đ
0,5đ

(a 2 + 2)(a − 1) 2 + 3  3a

Dấu = xảy ra khi và chỉ khi a − 1 = 0  a = 1
KL
Bài 5 (3 điểm)

0,25đ
0,25đ

B

N

M

A
D

I

a,(1 điểm)
Chứng minh được tứ giác AMNI là hình thang
Chứng minh được AN=MI, từ đó suy ra tứ giác AMNI là hình thang cân
b,(2điểm)
4 3
8 3
cm ; BD = 2AD =
cm
3
3
1
4 3
AM = BD =
cm
2
3

Tính được AD =

18

C

0,5đ
0,5đ
0,5đ

Giasutienbo.com - Trung tâm Gia sư Tiến Bộ - 0973361591

0,5đ

4 3
cm
3
1
8 3
4 3
DC = BC =
cm
cm , MN = DC =
2
3
3
8 3
Tính được AI =
cm
3

Tính được NI = AM =

0,5đ
0,5đ

B

A

Bài 6 (5 điểm)

O

N

M

a, (1,5 điểm)

C

D

0,5đ

OM OD
ON OC
,
=
=
AB AC
AB
BD
OD OC
Lập luận để có
=
DB AC
OM ON

 OM = ON
=
AB
AB

Lập luận để có

0,5đ
0,5đ

b, (1,5 điểm)
OM DM
OM AM
(1), xét ADC để có
=
=
DC
AB
AD
AD
AM + DM AD
1
1
Từ (1) và (2)  OM.(
)=
+
=
=1
AB CD
AD
AD
1
1
Chứng minh tương tự ON. ( +
) =1
AB CD
1
1
1
1
2
từ đó có (OM + ON). ( + ) = 2 
+
=
AB CD
AB CD MN

Xét ABD để có

(2)

0,5đ

0,5đ
0,5đ

b, (2 điểm)
S AOB OB S BOC OB
S
S
 AOB = BOC  S AOB .S DOC = S BOC .S AOD
=
=
,
S AOD OD S DOC OD
S AOD S DOC

0,5đ

Chứng minh được S AOD = S BOC

0,5đ
0,5đ

 S AOB .S DOC = ( S AOD ) 2

Thay số để có 20082.20092 = (SAOD)2  SAOD = 2008.2009
Do đó SABCD= 20082 + 2.2008.2009 + 20092 = (2008 + 2009)2 = 40172 (đơn vị
DT)
ĐỀ SỐ 8
Bài 1:
Cho x =

a 2 − (b − c)2
b2 + c2 − a 2
;y=
2bc
(b + c) 2 − a 2

Tính giá trị P = x + y + xy
19

0,5đ

Giasutienbo.com - Trung tâm Gia sư Tiến Bộ - 0973361591

Bài 2:
Giải phương trình:
a,

1 1 1
1
= + +
a+b− x
a b x

b,

(b − c)(1 + a ) 2
(c − a )(1 + b) 2
(a − b)(1 + c ) 2
+
+
=0
x + a2
x + b2
x + c2

(x là ẩn số)

(a,b,c là hằng số và đôi một khác nhau)
Bài 3:
Xác định các số a, b biết:
(3x + 1)
b
a
=
+
3
3
( x + 1) 2
( x + 1)
( x + 1)

Bài 4: Chứng minh phương trình:
2x2 – 4y = 10 không có nghiệm nguyên.
Bài 5:
Cho  ABC; AB = 3AC
Tính tỷ số đường cao xuất phát từ B và C
ĐỀ SỐ 9
Bài 1: (2 điểm)
 2 1 
1
 1
 x − 1
+ 1 + 2
Cho biểu thức: A = 
3 
 2 + 1  : 3
  x
 ( x + 1)  x  x + 2x + 1  x
a/ Thu gọn A
b/ Tìm các giá trị của x để A<1
c/ Tìm các giá trị nguyên của x để Acó giá trị nguyên
Bài 2: (2 điểm)
a/ Phân tích đa thức sau thành nhân tử ( với hệ số là các số nguyên):
x2 + 2xy + 7x + 7y + y2 + 10
b/ Biết xy = 11 và x2y + xy2 + x + y = 2010. Hãy tính x2 + y2
Bài 3 (1,5 điểm):
Cho đa thức P(x) = x2+bx+c, trong đó b và c là các số nguyên. Biết rằng đa thức
x4 + 6x2+25 và 3x4+4x2+28x+5 đều chia hết cho P(x). Tính P(1)
Bài 4 (3,5 điểm):
Cho hình chữ nhật có AB= 2AD, gọi E, I lần lượt là trung điểm của AB và CD. Nối D với
E. Vẽ tia Dx vuông góc với DE, tia Dx cắt tia đối của tia CB tại M.Trên tia đối của tia CE
lấy điểm K sao cho DM = EK. Gọi G là giao điểm của DK và EM.
a/ Tính số đo góc DBK.
b/ Gọi F là chân đường vuông góc hạ từ K xuống BM. Chứng minh bốn điểm A, I, G, H
cùng nằm trên một đường thẳng.
Bài 5 (1 điểm):
Chứng minh rằng: Nếu ba số tự nhiên m, m+k, m+ 2k đều là các số nguyên tố lớn hơn 3, thì
k chia hết cho 6.
20

Giasutienbo.com - Trung tâm Gia sư Tiến Bộ - 0973361591

ĐỀ SỐ 10
Bài 1: (3 điểm)

3   x2
1 
1
Cho biểu thức A =  + 2
+
:
2
x + 3 
 3 x − 3x   27 − 3x
a) Rút gọn A.
b) Tìm x để A < -1.
c) Với giá trị nào của x thì A nhận giá trị nguyên.
Bài 2: (2 điểm) Giải phương trình:
a)

1
6y
2
= 2
+
3 y − 10 y + 3 9 y − 1 1 − 3 y
2

 6−x 1
x 3+ x
−
1 −
.
3  2

2
4
b) x −
= 3−
2
2
Bài 3: (2 điểm)
Một xe đạp, một xe máy và một ô tô cùng đi từ A đến B. Khởi hành lần lượt lúc 5 giờ,
6 giờ, 7 giờ và vận tốc theo thứ tự là 15 km/h; 35 km/h và 55 km/h.
Hỏi lúc mấy giờ ô tô cách đều xe đạp và xe đạp và xe máy?
Bài 4: (2 điểm)
Cho hình chữ nhật ABCD từ điểm P thuộc đường chéo AC ta dựng hình chữ nhật
AMPN ( M  AB và N AD). Chứng minh:
a) BD // MN.
b) BD và MN cắt nhau tại K nằm trên AC.
Bài 5: (1 điểm)
Cho a = 11…1 (2n chữ số 1), b = 44…4 (n chữ số 4).
Chứng minh rằng: a + b + 1 là số chính phương.

ĐỀ SỐ 11
Bài 1: (2điểm)
3x 2 y − 1
4xy
b) Nếu a, b, c là các số dương đôi một khác nhau thì giá trị của đa thức sau là số
A = a 3 + b3 + c3 − 3abc
dương:
Bài 2: (2 điểm)
Chứng minh rằng nếu a + b + c = 0 thì:
a
b 
 a − b b − c c − a  c
A=
+
+
+
+

=9
a
b  a − b b − c c − a 
 c
Bài 3: (2 điểm)

a) Cho x 2 − 2xy + 2y2 − 2x + 6y + 13 = 0 .Tính N =

21

Giasutienbo.com - Trung tâm Gia sư Tiến Bộ - 0973361591

Một ô tô phải đi quãng đường AB dài 60 km trong thời gian nhất định. Nửa quãng
đường đầu đi với vận tốc lớn hơn vận tốc dự định là 10km/h. Nửa quãng đường sau đi với
vận tốc kém hơn vận tốc dự định là 6 km/h.
Tính thời gian ô tô đi trên quãng đường AB biết người đó đến B đúng giờ.
Bài 4: (3 điểm)
Cho hình vuông ABCD trên cạnh BC lấy điểm E. Từ A kẻ đường thẳng vuông góc vơi AE
cắt đường thẳng CD tại F. Gọi I là trung điểm của EF. AI cắt CD tại M. Qua E dựng đường
thẳng song song với CD cắt AI tại N.
a) Chứng minh tứ giác MENF là hình thoi.
b) Chứng minh chi vi tam giác CME không đổi khi E chuyển động trên BC
Bài 5: (1 điểm)
x 6 + 3x 2 + 1 = y4
Tìm nghiệm nguyên của phương trình:
ĐỀ SỐ 12
Bài 1:
Phân tích thành nhân tử:
a, (x2 – x +2)2 + (x-2)2
b, 6x5 +15x4 + 20x3 +15x2 + 6x +1
Bài 2:
a, Cho a, b, c thoả mãn: a+b+c = 0 và a2 + b2 + c2= 14.
Tính giá trị của A = a4+ b4+ c4
b, Cho a, b, c  0. Tính giá trị của D = x2011 + y2011 + z2011
Biết x,y,z thoả mãn:

x2 y2 z 2
x2 + y 2 + z 2
=
+ +
a 2 b2 c 2
a 2 + b2 + c2

Bài 3:
a, Cho a,b > 0, CMR:

1 1
4
+ 
a b
a+b

b, Cho a,b,c,d > 0
CMR:

a − d d −b b−c c − a
 0
+
+
+
d +b b+c c+a a+d

Bài 4:
x 2 + xy + y 2
với x,y > 0
x 2 − xy + y 2
x
b, Tìm giá trị lớn nhất: M =
với x > 0
( x + 1995) 2

a, Tìm giá trị lớn nhất: E =

Bài 5:
a, Tìm nghiệm  Z của PT: xy – 4x = 35 – 5y
b, Tìm nghiệm  Z của PT: x2 + x + 6 = y2
Bài 6:
Cho ABC M là một điểm  miền trong của ABC . D, E, F là trung điểm AB, AC, BC;
A', B', C' là điểm đối xứng của M qua F, E, D.
a, CMR: AB'A'B là hình bình hành.
b, CMR: CC' đi qua trung điểm của AA'
22

Giasutienbo.com - Trung tâm Gia sư Tiến Bộ - 0973361591

ĐỀ SỐ 13
Bài 1: (2 điểm)
a) Phân tích đa thức sau thành nhân tử:
a(b + c) 2 (b − c) + b(c + a) 2 (c − a) + c(a + b) 2 (a − b)
1 1 1
b) Cho a, b, c khác nhau, khác 0 và + + = 0
a b c
1
1
1
Rút gọn biểu thức: N = 2
+ 2
+ 2
a + 2bc b + 2ca c + 2ab

Bài 2: (2điểm)
a) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
M = x 2 + y 2 − xy − x + y + 1

b) Giải phương trình: ( y − 4,5) 4 + ( y − 5,5) 4 − 1 = 0
Bài 3: (2điểm)
Một người đi xe máy từ A đến B với vận tốc 40 km/h. Sau khi đi được 15 phút, người
đó gặp một ô tô, từ B đến với vận tốc 50 km/h. ô tô đến A nghỉ 15 phút rồi trở lại B và gặp
người đi xe máy tại một một địa điểm cách B 20 km.
Tính quãng đường AB.
Bài 4: (3điểm)
Cho hình vuông ABCD. M là một điểm trên đường chéo BD. Kẻ ME và MF vuông
góc với AB và AD.
a) Chứng minh hai đoạn thẳng DE và CF bằng nhau và vuông góc với nhau.
b) Chứng minh ba đường thẳng DE, BF và CM đồng quy.
c) Xác định vị trí của điểm M để tứ giác AEMF có diện tích lớn nhất.
Bài 5: (1điểm)
2
2
Tìm nghiệm nguyên của phương trình: 3x + 5 y = 345
§Ề SỐ 14
Bài 1: (2,5điểm)
Phân tích đa thức thành nhân tử
a) x5 + x +1
b) x4 + 4
c) x x - 3x + 4 x -2 với x  0
Bài 2 : (1,5điểm)
Cho abc = 2 Rút gọn biểu thức:
A=

a
b
2c
+
+
ab + a + 2 bc + b + 1 ac + 2c + 2

Bài 3: (2điểm)
Cho 4a2 + b2 = 5ab và 2a  b  0
Tính: P =

ab
4a − b 2
2

Bài 4 : (3điểm)
23

Giasutienbo.com - Trung tâm Gia sư Tiến Bộ - 0973361591

Cho tam giác ABC cân tại A. Trên BC lấy M bất kì sao cho BM  CM. Từ N vẽ
đường thẳng song song với AC cắt AB tại E và song song v...