PGD&ĐT TP THANH HOÁ
TRƯỜNG THCS TRẦN MAI NINH

ĐỀ KHẢO SÁT CHỌN ĐỘI TUYỂN
TOÁN 8 VÒNG II NĂM HỌC 2023 – 2024
Ngày thi 09 tháng 12 năm 2023
Thời gian làm bài 120 phút, không kể thời gian giao đề

ĐỀ THI CHÍNH THỨC
Đề thi có 01 trang

Bài 1: (4,0 điểm).
a) Phân tích đa thức: 8x3 + y3 + z3 – 6xyz thành nhân tử.
b) Cho a + b = x + y và a2 + b2 = x2 + y2.
Chứng minh: an + bn = xn + yn

(với mọi số tự nhiên n)

Bài 2: (4,0 điểm).
a) Với a, b là các số nguyên. Chứng minh rằng nếu
hết cho 5 thì

chia hết cho 5.
b) Tìm phần dư của phép chia đa thức

thức

chia

chia cho

dư

và chia cho

cho

Biết rằng đa

dư .

Bài 3: (4,0 điểm).
a) Tìm x biết:
b) Tìm các số nguyên

thỏa mãn

Bài 4: (6,0 điểm).
1. Cho hình vuông ABCD. Vẽ tam giác AEB đều nằm trong hình vuông. Đường
thẳng AE cắt BD ở F, DE cắt FC ở K. Chứng minh rằng:
a) Tam giác DFE cân.
b) K là trung điểm của CF.
2. Cho tam giác IHK cân ở I đường cao IM. Trên tia đối của HM vẽ N sao cho H
là trung điểm của MN. Vẽ MP vuông góc với IH. Gọi Q là trung điểm của IP. Chứng
minh rằng: NP vuông góc với QM.
Bài 5: (2,0 điểm).
Cho các số thực a,b,c dương thỏa mãn a2 + b2 + c2 = 3.
Chứng minh:

---------------Hết---------------Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm.

1

PGD&ĐT TP THANH HOÁ

TRƯỜNG THCS TRẦN MAI NINH
Biểu chấm gồm 02 trang

Bài

HƯỚNG DẪN VÀ BIỂU CHẤM
KHẢO SÁT CHỌN ĐỘI TUYỂN TOÁN 8 - VÒNG II
NĂM HỌC 2023 – 2024

Nội dung cần đạt
a) Phân tích đa thức: 8x3 + y3 + z3 – 6xyz thành nhân tử.

Điểm
2,0
0,75
0,75
0,5

Ta có:

b) Cho a + b = x + y và a 2 + b2 = x2 + y2. Chứng minh: an + bn = xn + yn
(với mọi số tự nhiên n)

0,5

Bài 1
4,0đ

Bài 2
4.0đ

2,0

Xảy ra 2 trường hợp:
TH1: b = y khi đó a = x thì an + bn = xn + yn
TH 2: a + x = b + y mà a + b = x + y => a = y và b = x
Khi đó an + bn = xn + yn
Vậy với a + b = x + y và a2 + b2 = x2 + y2 thì an + bn = xn + yn
(với mọi số tự nhiên n).
a) Với a, b là các số nguyên. Chứng minh rằng nếu
hết cho 5 thì
chia hết cho 5.

0,5
0,5
0,5
chia

Ta có:

2,0
0,5
0,5
0,5

(Vì 5 là số nguyên tố)

0,5
b) Tìm phần dư của phép chia đa thức
Biết rằng đa thức
Do
cho

chia cho

cho đa thức
dư

và chia cho

dư .

là đa thức bậc hai nên phần dư của phép chia

2,0

0,25

là một đa thức có bậc nhỏ hơn 2.

Gọi phần dư cần tìm là
Ta có tồn tại các đa thức

0,75

.
thỏa mãn:

2

0,25
0,25

Từ đó ta được
Vậy phần dư cần tìm là:
Bài 3
4,0đ

.

0,25
0,25
2,0

a) Tìm x biết:
Vì

0,25

Nên ta xét 2 trường hợp
TH1: Nếu
ta có

0,75

TH2: Nếu x < 1 ta có

0,75

0,25

Vậy
b) Tìm các số nguyên

thỏa mãn

(1)

2,0

Ta có:
Ta thấy
0,5
Vì

nên ta xét các trường hợp sau
0,25

+ TH1:
Với

, ta có
(t.m)
3

0,25

+ TH2.
(loại)
+ TH3.

(loại)

0,25
0,25

+ TH4.
Với

0,25

, ta có

1. Cho hình vuông ABCD. Vẽ tam giác AEB đều nằm trong hình vuông.
Đường thẳng AE cắt BD ở F, DE cắt FC ở K. Chứng minh rằng:
a) Tam giác DFE cân.

4,0

b) K là trung điểm của CF.
D

Bài 4.1

C

E

4,0đ

K
F

B

A

a) Ta có

đều nên AB = AE =>

vuông cân tại A nên
c/m
Suy ra

L

tại A
và

tại A
tại D.

0,5
0,75
0,75

b) Vì
Câu 1 Từ
4,0đ Từ C đường thẳng song song với AE cắt DK ở L.

0,5

Ta có
Suy ra:

đều

0,5
0,5
0,5

Bài 4.2 2. Cho tam giác IHK cân ở I đường cao IM. Trên tia đối của HM vẽ N

2,0đ

2,0

sao cho H là trung điểm của MN. Vẽ MP vuông góc với IH. Gọi Q là
trung điểm của IP. Chứng minh rằng: NP vuông góc với QM.
4

I

Q

P
N

H

O
L

G
M

K

2. Gọi O là trung điểm của PM=> OQ là đường trung bình của tam giác IMP
=> OQ //IM
=> Mà IM vuông góc với HK=> OQ vuông góc với HK
=> Lại có MP vuông góc với HI => O là trực tâm của tam giác QHM
=> HO vuông góc với QM.
Vì OH là đường trung bình của tam giác NMP nên OH // PN
NP vuông góc với QM.
Bài 5
2,0đ

0,5
0,5
0,5
0,5

Cho các số thực a,b,c dương thỏa mãn a2 + b2 + c2 = 3. Chứng minh rằng:

Đặt
Chứng minh được bất đẳng thức

0,25

0,25
0,25
0,25
0,25

0,25
0,25
5

Vậy
Dấu “=” xảy ra  a = b = c = 1

0,25

6