TRƯỜNG XANH TUỆ ĐỨC NGHỆ AN
ĐỀ THI & ĐÁP ÁN THI HỌC SINH GIỎI CẤP TRƯỜNG năm học 2021-2022
MÔN TOÁN 8:
(Thời gian làm bài 120 phút)
Bài 1: Cho biểu thức:

P=
a) Rút gọn biểu thức P.
b) Tìm giá trị của x để P đạt giá trị nhỏ nhất. Tìm giá trị nhỏ nhất ấy.
c) Tìm các giá trị của x để biểu thức P có giá trị nguyên. Hãy chỉ rõ các giá trị nguyên tương
ứng của P
Bài 2: a) Giải các phương trình sau:

1)

2)

b) Chứng minh rằng với mọi n là số tự nhiên khác 0 ta luôn có:

Bài 3: Cho tam giác ABCvuông tại A, đường cao AH, I là trung điểm của AC, IF vuông góc với BC
(F thuộc BC), CE vuông góc AC (E là giao điểm của CE với tia IF); G,K lần lượt là giao điểm của
AH và AE với BI. Chứng minh :
a)

và tính góc IHE

b)
c)
Bài 4: Chứng minh rằng với mọi số thực a,b,c ta luôn có:

… Hết…
(Giám thị không cần giải thích gì thêm)
Họ tên học sinh:………………………………………………. SBD

Bài
Bài 1 .

Bài 1: Cho biểu thức:

Đáp án

Điểm

(7đ)
P=
a) Rút gọn biểu thức P.
Giải:
ĐKXĐ của P là: x ≠ 3 ; x ≠−1
2
x
x +3
1
x −2 x−3
P=
−
+
x−3 3 ( x +1 ) ( x−3 ) 3 ( x +1 ) x 2 + x +2

1a.
2.5

(

)

3 x ( x+ 1 )−x−3+ x−3 x 2−2 x−3
. 2
3 ( x+1)( x−3)
x + x +2
2
2
2
2
3 x +3 x−6 x −2 x−3 3 ( x + x−2 ) ( x −2 x−3 )
P=
. 2
=
2
2
3( x +1)(x−3) x + x +2
3( x −2 x−3)(x + x +2)
x 2+ x−2
P= 2
x + x+ 2
2
x + x−2
Với x ≠ 3 ; x ≠−1thì P= 2
x + x+ 2

1b
(2.5đ)

Tìm giá trị của x để P đạt giá trị nhỏ nhất. Tìm giá trị nhỏ nhất ấy.
Ta có:
2
x + x+2−4
4
P= 2
=1− 2
x + x+ 2
x + x +2
4
P min  2
đạt GTLN  x 2+ x+2 đạt GTNN
x + x +2
1 1 7 7
2
2
Ta thấy: x + x+2=x +2. x . + + ≥
Đạt GTNN = 7/4
2 4 4 4

1c.

 x = -1/4 =>

4
4
−1
đạt GTLN = Khi x =
7
2
x + x +2
2

Vậy GTNN của P = 1 -

(2.đ)

2a.1
(2.5đ)

Khi x =

{

{

{

x=0
2
2
x + x+ 2=1
x + x +1=0
x=−1
loại
2
2
x + x+ 2=2  x + x=0 
x=1
2
2
x + x +2=4
x + x−2=0
x=−2

Vậy P có giá trị nguyên khi x = { 0 ; 1 ;−2 }

0,5

0,5
0,5

0,5

0,5
0,5
0,5
0,5

0,5

−1
2

c) Tìm các giá trị của x để biểu thức P có giá trị nguyên. Hãy chỉ rõ các giá trị
nguyên tương ứng của P
4
x 2+ x−2 1−
x ≠ 3 ; x ≠−1thì P= 2
Ta có:
=
2
x + x +2
x + x+ 2
2
P có giá trị nguyên khi x + x+2 là Ư(4)
Vì x 2+ x+2> 0 nên x 2+ x+2 chỉ nhận Ư(4) là số dương.
Ư(4) =

Bài 2:

4
−9
=
7/ 4
7

0,5

0,5
0,5

0,5

Lúc đó P = {−1 ; 0 }
x
P

2a2
(1,5đ)

-2
0

0
-1

1
0

0,5

a) Giải các phương trình sau:
1)
ĐKXĐ: x ≠−1; x ≠−2 ; x ≠−3

2b.
(2.0đ)



(5,5đ)

5
4
3
2
+1+
+1=
+1+
+1
x
x +1
x+2
x +3

(

)

5+ x 1
1
1
1
+
−
−
=0 ( ¿ )

x x x+ 1 x +2 x +3
1 1
1
1
−
−
≠0
Theo đkxđ: x ≠−1; x ≠−2 ; x ≠−3 thì +
x x +1 x+ 2 x +3
Nên (*)  x+5 = 0  x = 5
Nghiệm của pt (*) là S = {5}

2)
Bài 3:

0,5

x +1 khi x ≥−1
{
−x−1
khi x ←1
Ta biết | x + 1| =

(*)
x −1=0≤¿ x=± 1(t /m)
(*)  2
x +2 x+ 1=0 ≤> x=−1(loại)

[

2

0,5
0,5
0,5
0,5
0,5
0,5
0,5

Tập nghiệm của pt S =
b) Chứng minh rằng với mọi n là số tự nhiên khác 0 ta luôn có:
(*)

a)
(2,0đ)

Giải: Ta có:

Do đó vế trái của (*) tương đương với:

1.0
(*) 

b) 2.0đ

1.0

= 1-

< 1 (đpcm)

Cho tam giác ABCvuông tại A, đường cao AH, I là trung điểm của AC, IF vuông góc
với BC (F thuộc BC), CE vuông góc AC (E là giao điểm của CE với tia IF); G,K lần
lượt là giao điểm của AH và AE với BI. Chứng minh :
a)

và tính góc IHE

b)
c)
Giải: Vẽ hình chính xác
c) 1.0đ

a)(2,0đ)
và tính góc IHE
Trong ∆ ABC ta có: HI = IC = AI
(trung tuyến thuộc cạnh huyền của tam giác vuông)
mà :
mặt khác F là trung điểm của HC nên IF là trung trực của

0,5
0,5

Bài 4

(1,5đ)

HC nên I,E nằm trên đường trung trực của HC suy ra tam giác IHC = ICE nên góc IHC
= ICE = 1v

0,5
0,5

b) (1.5đ) C/m:

0,5

* Xét
(g.g) vì có góc IHE = BHA =1v
Góc BAH = ACB = CEI = IEH nên góc BAH = IEH.

0,5

Do đó

0,5
** Xét tam giác BHI và AHE có: Từ

suy ra

Góc IHE = BHA (2) Từ (1) và (2) ta có :

(1)
(cgc)

0,5

c) (1.0đ) C/m:
Ta có:
giác đồng dạng) và
Do đó:

0,5

Vì:

(Góc tương ứng của 2 tam
(góc đối đỉnh).

0,5

hay :

0,5

Chứng minh rằng với mọi số thực a,b,c ta luôn có:

Ta luôn có:

(*)
Cộng theo vế bất phương trình (*) ta có:

0,5

(ĐPCM)

0,5

….HẾT…
0,5