BÀI GIẢI ĐỀ THI HSG HUYỆN TRI TÔN
NĂM HỌC: 2015 – 2016
---o0o---

BÀI 1 (3,0 điểm): Rút gọn biểu thức:


Nhân tử và mẫu của biểu thức cho
, ta được:


BÀI 2 (4,0 điểm):
Cho hai hàm số:

;

Vẽ đồ thị hai hàm số đã cho trên cùng một hệ trục tọa độ.
Gọi (d) và (d’) lần lượt là đồ thị của hai hàm số đã cho; (d) và (d’) cắt trục hoành lần lượt tại A và B ; gọi C là giao điểm của (d) và (d’). Chứng minh rằng tam giác ABC vuông và có một góc bằng


GIẢI:
a) Vẽ đồ thị hai hàm số:
(d):

(d’):

Đồ thị hàm số
là đường thẳng (d) đi qua hai điểm
và

Đồ thị hàm số
là đường thẳng (d’) đi qua hai điểm
và

Vẽ đồ thị:


b) Dựa vào đồ thị, ta xác định được tọa độ của các điểm:

Đường thẳng (d) có hệ số góc là
và đường thẳng (d’) có hệ số góc là

Ta có:
.
= - 1
Do đó (d) và (d’) vuông góc với nhau tại C. Hay tam giác ABC vuông tại C.
Xét tam giác vuông OAC, ta có:

Do đó:

Vậy tam giác ABC vuông tại C và có góc B bằng 300
BÀI 3 (3,0 điểm):
Giải hệ phương trình:

GIẢI:
Đặt
khi đó HPT đã cho trở thành:

Từ (2) suy ra:
thay vào PT (1) ta được:


* Nếu
thì
. Khi đó:

(loại)
* Nếu
thì
. Khi đó:

(nhận)
Với x = -3 suy ra: t = - 1 – ( - 3) = 2 .
Do đó:

Vậy HPT đã cho có hai nghiệm: (-3 ; 3) và (-3 ; - 1)
BÀI 4 (3,0điểm):
Cho hai số a, b khác 0. Chứng minh rằng:


Dấu bằng xảy ra khi nào?
GIẢI:
Ta có:



(do a, b khác 0 nên
)


Do:

Nên:

Vậy

Dấu “=” xảy ra

BÀI 5 (4,0 điểm):
Cho tam giác ABC vuông tại B, kẻ trung tuyến BD. Đường tròn nội tiếp tam giác ABD tiếp xúc với cạnh AD tại K. Tính các góc của tam giác ABC nếu biết K là trung điểm của AD.
GIẢI:


Vì tam giác ABC vuông tại B nên:

Vì BD là đường trung tuyến ứng với cạnh huyền AC nên:
(1)
Mặt khác D là trung điểm của AC nên:
(2)
Từ (1) và (2) suy ra: BD = DA nên tam giác DAB cân tại D
Do đó:
(tính chất tam giác cân) (3)
Hai tam giác vuông OKD và OKA có KD = KA (GT) và OK là cạnh chung nên:

(c.g.c)
Suy ra:
(góc tương ứng) hay
(4)
Từ (3) và (4) suy ra:
hay tam giác DBA là tam giác đều.
Suy ra:

Do đó:

Vậy số đo các góc của tam giác ABC là:


BÀI 6 (3,0điểm):
Thả điều là một hoạt động vui chơi thường gặp trong những ngày hè. Vật liệu làm diều chính là giấy, hai thanh tre và dây thả. Bạn An làm một chiếc diều có dạng tứ giác ABCD (hình vẽ)
Biết AB = BC = 20cm ; AD = DC ; góc
và
. Tính chiều dài đoạn AC và BD để làm khung cho diều và diện tích tứ giác ABCD.
GIẢI:


Áp dụng định lý Py-ta-go vào tam giác vuông ABC, ta có:

(cm)
Dễ thấy H là trung điểm của AC
Suy ra:
(cm)
Ta có: BH.AC = AB.BC
(cm)
Tam giác ADC có DA = DC (GT) và
nên tam giác ADC là tam giác đều
Suy ra: DA = DC = AC =
(cm)
Áp dụng định lý Py-ta-go vào tam giác vuông DHA:

(cm)
Do đó: BD = BH + DH =
(cm)
Diện tích tứ giác ABCD:

(cm2)